极浅显编序号常识凸显有序号数n>一切整数
[size=4]极浅显编序号常识凸显有序号数n>一切整数

——重大错误：正整数集N无上界

黄小宁（广州市华南师大南区9-303  邮编510631）

将正整数集N的所有数n都配上序号，1=第1号数，…，n=第n号数，所用序号数n的全体组成T。显然没有与N的任何元n相配号的T外无穷大序号数n>无穷集N的一切n才能与N外的负整数配上序号，例如“-1=第n号数”中的n>N的一切n——极浅显序号常识推翻了“N无上界”思想牢笼。

数学规定各正整数n都有相反数-n，但没规定各序号数n都有相反的序号数（与号字结合在一起的“n号”中的n称为序号数。序号的起始号是1号，没有第-1号等，即n号没有相反的-n号。）。可见序号数n与正整数n是有区别的。因为N的各元n都有两个对应数±n且所有对应数组成整数集Z，所以Z的元比N的元多一倍。显然T外序号数n>N的一切n才能定量描述Z包含多少个元素。可见“个数多少”并非都能由正整数n表示，正如正方形对角线长等须用无理数表示，有理数全体远远不够用一样。

获中国教育学会一等奖的文献[1]论证了N内有最大自然数n′使比n′大的n′+1等不∈N！显然没有此重大发现就绝无本文的发现，正如必须先有初等数学然后才能有高等数学一样——这是极浅显的道理。显然上述的将N的所有数n都配上序号后，与N∪｛-1，-2，-3，…｝中的-1相配的序号n必>n′。

参考文献

[1]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.

[2]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.

[3]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[4]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7

极浅显编序号常识凸显有序号数n>一切整数
[size=4]极浅显编序号常识凸显有序号数n>一切整数

——重大错误：正整数集N无上界

黄小宁（广州市华南师大南区9-303  邮编510631）

将正整数集N的所有数n都配上序号，1=第1号数，…，n=第n号数，所用序号数n的全体组成T。显然没有与N的任何元n相配号的T外无穷大序号数n>无穷集N的一切n才能与N外的负整数配上序号，例如“-1=第n号数”中的n>N的一切n——极浅显序号常识推翻了“N无上界”思想牢笼。

数学规定各正整数n都有相反数-n，但没规定各序号数n都有相反的序号数（与号字结合在一起的“n号”中的n称为序号数。序号的起始号是1号，没有第-1号等，即n号没有相反的-n号。）。可见序号数n与正整数n是有区别的。因为N的各元n都有两个对应数±n且所有对应数组成整数集Z，所以Z的元比N的元多一倍。显然T外序号数n>N的一切n才能定量描述Z包含多少个元素。可见“个数多少”并非都能由正整数n表示，正如正方形对角线长等须用无理数表示，有理数全体远远不够用一样。

获中国教育学会一等奖的文献[1]论证了N内有最大自然数n′使比n′大的n′+1等不∈N！显然没有此重大发现就绝无本文的发现，正如必须先有初等数学然后才能有高等数学一样——这是极浅显的道理。显然上述的将N的所有数n都配上序号后，与N∪｛-1，-2，-3，…｝中的-1相配的序号n必>n′。

参考文献

[1]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.

[2]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.

[3]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[4]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7

中学数学有重大错误使康脱脱离健康误入歧途
——{1，2，3，…，n，…}不一定是正整数集N
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
[摘要]当无穷集A的各元x全都有对应数x=y时，若A内有x再与A外数相对应那就是“一对二”的重复对应了。——据此集合常识发现稍有一点头脑的初中生也一教就明的非常直观的推翻百年集论的表达式。从而极其简单明了地证明从西方传进来的中学数学有使著名的康脱脱离健康误入歧途的重大错误：将一部分误为全部。因此，凡合格的中学数学教师都能对本文的正确与否作出正确的判断。
关键词  重大中学数学错误；推翻百年集论；N内暗含有无穷大自然数n>M；搞错函数的定义域；分形几何
一、不能“见到胡子就喊爹”——中学数学搞错了y=2n的定义域
研究2无穷集是否分别包含同样多（个）元素是集合论的最核心的实质内容。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个C所没有的数a——不论C是否无穷集。两集不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。
P＝｛0，1，2｝
Q =｛0，1，2｝∪｛3｝由两部分组成，显然其第2部分｛3｝有多少个元，Q就比P～P多多少个元。
关键是对上、下两集的各数从左到右依次一一对应成双配对起来，立刻就能看出哪一集比哪一集多或少了多少个数；因为非常直观：下集的第1部分的各数的头上都有一个对应数且所有对应数组成的集是P，而其第2部分的各数的头上都无数∈上集P。康脱就断定无理数比自然数多；…。同样——
奇数集A={1，3，5，…，2n-1，... }
偶数集B={2，4，6，…，2n，... }（ B的各元２n的对应数n的全体组成集合C）
B～C={1，2，3，…，n，…}
显然A～B～C。问题是N=A∪B ～A吗？N=C吗？
A＝｛1，3，5，…，2n-1，…｝
N=A∪B＝｛1，3，5，…，2n-1，…｝∪｛2，4，6，…，2n，…｝，显然N的第2部分B有多少个元，N就比A～A多多少个元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式；其非常直观地表达：下集N的第1部分的各数2n-1的头上都有一个对应数2n-1∈上集A，而其第2部分的各数2n的头上都无数∈上集A，即根本不可有下集N的各数2n、2n-1都有对应数∈上集A。
关键是当上A的各数2n-1都有对应数2n-1∈下A——N的第1部分时，若上A内有数再与N的第2部分B的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。在此情形下下集N的第2部分B的各数2n的头上都无对应数∈上集A。
同样B～A也根本不可～N！注！本文的集都由两部分组成，上集的第1部分必～相应的下集的第1部分。
B～C=｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝（C的第2部分是空集）
在N=B∪A=｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝中，第2部分A有多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元，使C只能是N的一部分而非N——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式；其一目了然地表达下集N的第1部分的各数2n的头上都有一个对应数n且所有对应数组成上集C，而其第2部分的各数2n-1的头上都无对应数∈上集C， 即C的各数n远不可与N的各数2n、2n-1一一对应。
关键是C的各数n均有对应数2n∈B，从而使C中无一数n能与A的数2n-1相对应，否则就是“一对二”的重复对应了。
由上可见，将B的所有偶数都编上序号，其各数2n依次分别称为1号数、2号数、3号数，…，n号数，…，就用光了C的一切n了，若再要将A 的数也编上序号就需用C外的无穷大自然数n>C的一切n了。
形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。
可见仅凭C={1，2，3，…，n，…}就断定其=N，是犯了“见到胡子就喊爹”的错误。殊不知“无穷大”也是无限可分的，也是有无穷多层次的。
故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。
所以中学数学断定y=2n>n= 1，2，3，…，…（y∈N）的定义域＝N是使康脱脱离健康误入歧途的重大错误。而且，①说不等式中y的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，显然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大，即说N内有数y > N的一切数——重大病句！②式中y可>右边数列的一切数，表明数列不可包含N的一切n。
不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
二、50字证明N内奇、偶数各占一半——“一对一”与“一对二”的重大区别使N内整数比偶数多一倍
看！以上排成3行数的A、B、C中的C的各元n的头上都有两对应数2n、2n-1且所有对应数组成的集是N——50个字符充分证明了推翻百年集论的：
SH定理：N的元比C的元多一倍，使C～B与B～A一样是N的真子集;因B～A故N内奇、偶数各占一半。
三、数学中，暗含的用而不知的“骨干”数远远多于已知数
在N内取值的n→∞的含义是：n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。这类数n>M显然是“更无理”数。
“本文揭示数学中，用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…
“说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［１］。”
“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[2]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。
无穷集U =[a, b]内也有该集的最小、大数。变域为U的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。
关键：对人而言U内数多得取之不尽，人不能遍取U内一切数，但变域为U的变量却能取尽U内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。
正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段L（否则L就不能还原为原来的闭折线了）。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。显然当a的面积j>>1时相应的周长c′>>c>M。
以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。
不能定量描述无穷集包含多少个元素是数学的重大缺陷。
四、“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康
所以被誉为“人类的最伟大的创造之一”（胡作玄，引起纷争的金苹果，福建教育出版社，1993.12：27）的康脱集论其实是脱离健康的极荒唐病态理论。这是数学的致命病毒。将此核心错误奉为数学引以为豪的基础，使其占统治地位百年之久，必使人滚雪球似地“滚”出越来越大、无穷变大的一连串更重大的错误。这使美国著名数学史家M•克莱因清醒地意识到：“这个世纪以来，数学从科学中的分离不断加速，[3]”百年康脱集论使数学急速脱离健康发展轨道地远离科学。致命病毒的入侵使数学有违反科学常识的理论啊！真正的数学必然是科学。
可见，被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
详论见获中国教育学会一等奖的文献[4]。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
[1]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学，科技信息[J]，2008（2）:46.
[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。
[3]M•克莱因著、李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，长沙市：湖南科技出版社，1999.4:311
[4]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[5]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[6]黄小宁  再论发现最小、大正数彻底推翻康托无穷集论破解2500年芝诺世界难题（上），见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社：2002.6:21。 
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    一版《名师》:让梦想照进现实
    名师如何定位？名师是谁？名师在哪里？名师是如何成长起来的？我们应该如何描绘名师成长的轨迹，从而向他们的精神气质与现实内涵靠近？……
    也许我们现在还不能为“名师”写下结论性的定义，但却能够感受到优秀教师的人格魅力、教育境界，能够记录和描绘出他们成长的轨迹、心路的历程以及他们的教育教学理念和做法。我们愿意潜心做好名师的记录者、发现者和推介者。
    《中原课改名师》栏目推介本土名师，名师的人格魅力、成长经历、教育理念、教学方法、典型案例等，将为您指引一条并不唯一的晨曦中的道路；《专家讲坛》栏目记录全国教育名家的精彩讲学，启迪思想、开阔视野；《课改笔记》栏目为您提供表达体会、分享心得的平台；《课改对话》栏目为您展示思维碰撞的精彩……
    成长没有捷径，但《名师》版将携手全国和本土的名师、高校专家，让您在星辰的光芒中少走弯路。同时，我们也报道先进学校的课改经验和做法，让您的课改探索少走岔路。
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二版《创见》:相约《创见》，体会思考的快乐
    “创见”，按照《现代汉语词典》的解释是“独到的见解”。教师如何形成自己独到的见解呢？可以肯定的是，仅仅关注考试分数，固守本学科教学，在技术的层面精打细算，很难有自己的创见。
    在优秀教师的成长经历中，必须经历一个自我觉醒的过程，将专业视野扩大至整个教育领域甚至是哲学社会科学领域，自觉提升自身的理论素养，如此，才能对教育问题、教育现象形成自己独到的见解。
    《创见》版旨在汇聚众人的创见，提升教师的反思意识、批判精神，追寻教师专业发展的根本，在教育理论与实践之间搭建桥梁。具体来说，涉及教育基本理论、课程管理、课程评价、教育教学言论、教师专业发展研究、校本研修、课堂教学和学科教学理论、校本课程、综合实践活动等方面的内容。
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    2008年，《视野》版将以一个崭新的面貌呈现在您的面前。我们将推出一系列读书活动，有《主题阅读》，有《我的阅读体验》，有《新书读后感》。我们希望通过这些活动，与广大教师产生互动，共同提高我们的阅读水平。在《瞭望》栏目中，我们将介绍国外最新的教育信息，开扩大家的视野。在《速览》栏目，我们将选择一些国内有建设性的、有影响的教育事件或教育观点，加强教师的交流。在《名家谈教育》栏目中，我们将推荐大家阅读教育经典，重温教育名家的教育理念。 

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50字证50字证明N内奇数2n-1偶数2n各占一半

——中学数学重大错误：将一部分误为全部

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631



摘要　使康脱脱离健康误入歧途的重大中学数学错误：将一部分误为全部，使人类认识与研究正整数五千多年来，先一直不知SH定理“正整数集N内奇、偶数各占一半”，近百年来又举世欢呼“伟大发现”：N内有多少个元n就有多少个数２n、有多少个数２n－１、…且各数都∈N。本文由康脱的对应原理仅用50个字符就证明了SH定理，推翻百年集论。
   

关键词　中学数学重大错误；推翻自然数公理和百年集论；有首、末项的无穷数列；有穷与无穷的对立统一； N内暗含有无穷大自然数n>M

一、会背书得高分者不一定真懂集合论

无穷数集A与B是否分别包含同样多（个）元素？若A的所有相应数y＝f（x）分别与B的所有元x一一对应成双配对“结婚”后，A还多出一数y≠f（x）“单身”而没能与B的元x配对，就表明A比B多含了一个元，若还多出无穷多个数y≠f（x）“单身”就表明A比B多出无穷多个元。总之，若B的所有元x与A的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明A至少比B多含一个元而不可～B。康脱就断定无理数比自然数多；…。

两集不对等就更谈不上相等；不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个数a。

不知以上集论最核心的实质内容者还根本不懂集论。

二、推翻百年集论的真扩集定理

真扩集定理：任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。

证：G～G。给G增添一个与G没有共同元的非空集H得G的真扩集K＝H∪G就极显然不～G了：K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应成双配对，而另一部分H的各元就都与此配对无关，表明K至少比G多出了一个元素。证毕。

关键是G的各数均有与己相同的对应数∈G，若G内有数再与H的数相对应，那就是“一对二”的重复对应了。

三、50字符证明N内奇、偶数各占一半——“一对一”与“一对二”的重大不同使N所有元2倍于所有偶数元

奇数集A：1，3，5，...，2n-1，...

偶数集B：2，4，6，...，2n，...

        C：1，2，3，…，n，…

数学的正整数集N=A∪B是A也是B的真扩集。真扩集定理断定N至少比A～B多一个元从而推翻百年集论。
   

上面3数列显示C的各元n都有两对应数n、2n-1且所有对应数组成的集是N，表明N所含元2倍于C所含元——50个字符充分证明了推翻百年集论的：

SH定理：N的元素2倍于C的元素，使C～B与B～A一样是N的真子集（因B～A故元素2倍于C～B的元素的N内奇、偶数各占一半）。

形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。

N=B∪A＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝

　　　 C＝｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝～B

看！稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的事实：在N中：与C中｛｝对应的A包含多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元。

故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。

所以中学数学断定C=N，是将N的一部分误为N从而使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。

四、证明无穷集C有最大元素

数学常识：“集D的任何数x”中的x可取D的任何（所有）数，即D的所有数都由此x代表。反复强调：若代数式y>x中的x代表D的任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y>D的任何正数。

“无穷集D=（1，2）的任何元x<1.1x=y”明确表达有D外数y>D的任何（所有）元x（式中x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y>x必可一个不漏地遍比D的所有x都大）；同样，①“C的任何元n<n+1∈N”一目了然地表达N中有数n+1>C的任何（所有）元n。②“任意一个”是全称量词，对C的任意一个n都有n+1>n就是对C的所有n都有n+1>n（C的所有数都由此n代表）。这不就是说有C外数n+1>C的一切n吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。

因为①②中的n都∈C，故C外n+1中的n∈C显然就是C的最大数——其后继n+1不∈C。
 

关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。

无穷集B=[a, b]内也有该集的最小、大数。变域为B的x在由大到小取值的过程中必有最后一次的取值：取至a后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。

正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段L（否则L就不能还原为原来的闭折线了）。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。显然当a的面积j>>1时相应的周长c′>>c>M。

以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。

不能定量描述无穷集包含多少个元素是数学的重大缺陷。

五、数学中，暗含的用而不知的“骨干”数远远多于已知数

“本文揭示数学中，用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…

“说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是说其‘从某时刻起以后所取各自然数n都>M。’这间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［１］。”

六、推翻自然数公理：N的任何元n<2n∈N

自然数公理断定：数学内的所有正自然数组成的N的各元n均有同属N的对应数2n>n（N的所有数都由此n代表）即：N的任何元n<2n∈N。其实这是使康脱误入歧途的重大病句：N内有数２n>N的所有数n。初3数学问题：

在N内取值的y=2n>n= 1，2，3，…

中的自变量n能遍取N的一切数吗？此式一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以关系式限制式中数列不可包含N的一切数！即y=2n 的定义域≠N！即并非N的任何数都能由2n∈N 中的n代表。中学数学断定y=2n
  的定义域＝N是使康脱误入歧途的重大错误。

对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。

详论见获中国教育学会一等奖的文献［２］。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！

周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）

参    考    文    献 

[１]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学，科技信息[J]，2008（2）:４６.

[２]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.

[３]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.

[４]黄小宁，y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。

电联:020-88506843(下午) E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）





[em08]明N内奇数2n-1偶数2n各占一半

——中学数学重大错误：将一部分误为全部

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631



摘要　使康脱脱离健康误入歧途的重大中学数学错误：将一部分误为全部，使人类认识与研究正整数五千多年来，先一直不知SH定理“正整数集N内奇、偶数各占一半”，近百年来又举世欢呼“伟大发现”：N内有多少个元n就有多少个数２n、有多少个数２n－１、…且各数都∈N。本文由康脱的对应原理仅用50个字符就证明了SH定理，推翻百年集论。
   

关键词　中学数学重大错误；推翻自然数公理和百年集论；有首、末项的无穷数列；有穷与无穷的对立统一； N内暗含有无穷大自然数n>M

一、会背书得高分者不一定真懂集合论

无穷数集A与B是否分别包含同样多（个）元素？若A的所有相应数y＝f（x）分别与B的所有元x一一对应成双配对“结婚”后，A还多出一数y≠f（x）“单身”而没能与B的元x配对，就表明A比B多含了一个元，若还多出无穷多个数y≠f（x）“单身”就表明A比B多出无穷多个元。总之，若B的所有元x与A的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明A至少比B多含一个元而不可～B。康脱就断定无理数比自然数多；…。

两集不对等就更谈不上相等；不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个数a。

不知以上集论最核心的实质内容者还根本不懂集论。

二、推翻百年集论的真扩集定理

真扩集定理：任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。

证：G～G。给G增添一个与G没有共同元的非空集H得G的真扩集K＝H∪G就极显然不～G了：K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应成双配对，而另一部分H的各元就都与此配对无关，表明K至少比G多出了一个元素。证毕。

关键是G的各数均有与己相同的对应数∈G，若G内有数再与H的数相对应，那就是“一对二”的重复对应了。

三、50字符证明N内奇、偶数各占一半——“一对一”与“一对二”的重大不同使N所有元2倍于所有偶数元

奇数集A：1，3，5，...，2n-1，...

偶数集B：2，4，6，...，2n，...

C：1，2，3，…，n，…

数学的正整数集N=A∪B是A也是B的真扩集。真扩集定理断定N至少比A～B多一个元从而推翻百年集论。
   

上面3数列显示C的各元n都有两对应数n、2n-1且所有对应数组成的集是N，表明N所含元2倍于C所含元——50个字符充分证明了推翻百年集论的：

SH定理：N的元素2倍于C的元素，使C～B与B～A一样是N的真子集（因B～A故元素2倍于C～B的元素的N内奇、偶数各占一半）。

形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。

N=B∪A＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝

　　　　            　C＝｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝～B

看！稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的事实：在N中：与C中｛｝对应的A包含多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元。

故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。

所以中学数学断定C=N，是将N的一部分误为N从而使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。

四、证明无穷集C有最大元素

数学常识：“集D的任何数x”中的x可取D的任何（所有）数，即D的所有数都由此x代表。反复强调：若代数式y>x中的x代表D的任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y>D的任何正数。

“无穷集D=（1，2）的任何元x<1.1x=y”明确表达有D外数y>D的任何（所有）元x（式中x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y>x必可一个不漏地遍比D的所有x都大）；同样，①“C的任何元n<n+1∈N”一目了然地表达N中有数n+1>C的任何（所有）元n。②“任意一个”是全称量词，对C的任意一个n都有n+1>n就是对C的所有n都有n+1>n（C的所有数都由此n代表）。这不就是说有C外数n+1>C的一切n吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。

因为①②中的n都∈C，故C外n+1中的n∈C显然就是C的最大数——其后继n+1不∈C。
 

关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。

无穷集B=[a, b]内也有该集的最小、大数。变域为B的x在由大到小取值的过程中必有最后一次的取值：取至a后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。

正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段L（否则L就不能还原为原来的闭折线了）。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。显然当a的面积j>>1时相应的周长c′>>c>M。

以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。

不能定量描述无穷集包含多少个元素是数学的重大缺陷。

五、数学中，暗含的用而不知的“骨干”数远远多于已知数

“本文揭示数学中，用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…

“说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是说其‘从某时刻起以后所取各自然数n都>M。’这间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［１］。”

六、推翻自然数公理：N的任何元n<2n∈N

自然数公理断定：数学内的所有正自然数组成的N的各元n均有同属N的对应数2n>n（N的所有数都由此n代表）即：N的任何元n<2n∈N。其实这是使康脱误入歧途的重大病句：N内有数２n>N的所有数n。初3数学问题：

在N内取值的y=2n>n= 1，2，3，…

中的自变量n能遍取N的一切数吗？此式一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以关系式限制式中数列不可包含N的一切数！即y=2n 的定义域≠N！即并非N的任何数都能由2n∈N 中的n代表。中学数学断定y=2n
  的定义域＝N是使康脱误入歧途的重大错误。

对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。

详论见获中国教育学会一等奖的文献［２］。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！

周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）

参    考    文    献 

[１]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学，科技信息[J]，2008（2）:４６.

[２]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.

[３]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.

[４]黄小宁，y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。

电联:020-88506843(下午) E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）





[em08]

正自然数集N显然不能与其任何真子集对等
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
两无穷数集A与B是否分别包含同样多（个）元素？若A的所有相应数y＝f（x）分别与B的所有元x一一对应成双配对“结婚”后，A还多出一数y≠f（x）“单身”而没能与B的元素x成双配对，显然就表明A比B多包含了一个元素，若还多出无穷多个数y≠f（x）“单身”，就表明A比B多出无穷多个元素。总之，若B的所有元x与A的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明A至少比B多含一个元素。康脱就断定无理数比自然数多；…。
两集不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。
奇数集A：1，3，5，...，2n-1，...
偶数集B：2，4，6，...，2n，...
数学内的正自然数集N=A∪B是由A(或B)增添B（或A）而得的A（或B)的真扩集。
百年集论断定无穷数集A或B的各元都可与N的所有元2n-1、2n（N内有奇数２n－１和偶数２n）一一对应成双配对。其实这是重大的百年之误！
    P＝｛0，1，2｝与Q=P∪｛3｝的一部分P对等，就不可与Q对等了。同样，原B各元只能与N的一部分：A或B～A(以及与其对等的别的集)的各元一一配对，而根本不能...！
    例如原B各元2n与N的一部分A的各元2n-1一一配对，N的另一部分B各元2n就全都没有参加配对！
详论见获中国教育学会一等奖的文献［1］。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参    考    文    献 
[１]黄小宁  50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息，2007年第36期:31.
[2 ]黄小宁　“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）, 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
电联:020-88506843(下午) 
初稿完成于2008.2.26。E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）

高中物理 力学 知识

祝您新春快乐！

祝您新的一年身体健康,工作顺利,万事如意.让每一天都成为自己生命中最有活力和价值的一天.

一目了然：线段的全部点必多于其任何一部分的点
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
几何常识：沿数轴运动的动点由位置b处运动至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处,虽然2处之间有无穷多个位置。故应有相应的代数常识：变域为闭区间等的变量必能有序地遍取其变域内的一切数；否则就如连正方形对角线的长也不能定量阐明那样表明…。
设[0…1]=D表示x轴的0与1之间的所有数加上0与1组成的数（点）集。
0_______1_______2___ ……..x轴→
0_______1_______2___ ……..y=x轴→
0_______1_______2___ ……..y=2x轴→
如上图所示，变域为D的沿x轴运动的点x在由0→1的过程中每取一数x均有对应数x=y∈y=x轴与其成双配对，记为x←→x=y，一直到点x到达x=1处时运动就结束了，使x=1←→x=y=1∈y=x轴后，配对就结束了，从而使D内根本就无没配对的多余数x与（1...2]Ìy=x轴的各元y≠x∈D相配对，即y =x轴的[0…1]以外的点y都与配对无关。
可见如上图所示x轴的[0…1]的各点根本不能与y=x轴的[0…2]= [0…1]∪（1…2] 的各点一一配对。为什么？原因一目了然：（参见上图）（1...2] 包含多少（个）点，[0…2]就比[0…1]多多少（个）点。
关键是数轴的线段L的任何一部分A的各数x均有与己相同的对应数x=y∈L′=L，若有x（x←→x=y）再与非x数相对应，那就是重复对应了。
x轴的各点x←→2x=y。D的各元x均由x变换为y=2x就形成了以y为元素的新的数集Z与D对等：D内有多少个x，Z内也有多少个y。如[1]所述，x轴的各个点x均置换为点y=2x就形成了如上图所示的新的以点y=2x为元素的y=2x轴（可与.y=x轴重叠在一起）。显然D包含多少个点，y=2x轴的线段[0…2]（2x）就包含多少个点，两者是对等的，但D不是后者的一部分——因为x轴由点x组成，而y=2x轴由点2x=y组成。如[1]所述，如将棉线与铁线混为一谈一样将组成成分不同的两直线混为一谈，就要铸成大错。将y=x轴与用而不知的y=2x等轴混为一谈就搞错了变量的变域，从而使人误以为线段[0…2]（2x）与其一部分[0…1]（2x）对等。
可见，数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
[1]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[2]黄小宁  50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息，2007年第36期。
[3]黄小宁  百字推翻5000年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年7月第2期：29。
[4]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[5]黄小宁  再论发现最小、大正数彻底推翻康托无穷集论破解2500年芝诺世界难题（上），见：同[3]：2002.6:21。
[6]黄小宁  再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[7]黄小宁  极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报•教研版［N］，2002.11.22，4版。
[8]黄小宁  教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0，见： 中国学校教育研究• 数学• 计算机卷[C]，北京：中国民主法制出版社，2004.3:8。
[9]黄小宁  数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11:994。
电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）  电联:020-88506843(下午)初稿完成于2008。

编、审书者为何犯最不应犯的概念性错误（压缩版）？
——对应变数与对应关系是两个根本不同的概念
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
函数是数学中最重要的概念之一。
当所研究的集合是数集时“x的函数”就是x的对应变数。y =f(x)是按照变化（对应）法则 f变化的变数。变化（对应）法则f与按照f取数变化的变数y不能混为一谈。“函数关系”就是变数y =f(x)与变数x之间的互为对应关系：x←→y=f(x)。函数与函数关系是两个根本不同的概念。“变数的变化法则”与“变数”本身有极显著的质的区别。例如函数有变域，而给定的函数关系与函数的变化（对应）法则就不存在变域。
“数集D的各元x都须与100x对应”这一对应法则不是函数，变数100x才是函数。x的对应变数y=f(x)是函数，而规定其如何对应变化的对应变化法则f不是函数。一种对应法则（关系）：买卖双方的“n元钱对应y=2n个包子”与法则中的一个变数y=2n是两个根本不同的概念。
然而令人震惊的是竟有不少书本出现最不应该出现的概念性错误。例如：“函数是从自变量的输入值产生出输出值的一种法则或过程。”（COMAP著，申大维等译《数学的原理与实践》，高等教育出版社、德国施普林格出版社，1998.8。）
又例如：“…，那么这个关系f就叫做从x到R的函数关系，简称为函数，”（姚孟臣《大学文科基础数学(第一册)》31页，北京大学出版社，1990.3。）
有数学家说:概念搞错了,头脑会变成一团浆糊。
“函数的近代定义：设A，B都是非空数集，f：A→B是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作 y=f(x)。”显然将对应变数与对应关系、对应法则混为一谈了。这会在初学者中造成极大的思想混乱。
“函数的三要素：定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.” 如函数的定义域非函数本身一样， 函数的对应法则f是函数的三要素之一，也非函数本身！
学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。
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中学数学重大错误：100…0x可取一切正数
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
小学生都明白凡可表为亿亿个正数x的和的数100…0x都有相比下是“天文数字”的性质。凡可亿亿倍于其子部的直线段相比下全都是极长线段，其所对应的正数相比下全是极大正数，其两端点相比下均相距极远。凡违反此起码数学常识的“理论”必是重大错误。
最起码数学常识：若数集Z内一个不漏的每一数y = 100…0x>>x>0分别亿亿倍于别的正数x，从而相比下全都是>>0的极大正数，则Z远不可包含全部正数！凡违反此起码数学、逻辑学常识的“理论”必是重大错误。
“变数y=f(x)”是说y的定义域D的各元x均有对应数y(x)，表明变量x所取各数也均由x代表（上、下文联系来看就知：此x是变量，彼x是定量。），D内各元都有一个共同的“名字”叫x。所以x不但是变量，同时也代表D内任一定量，故其具有既是变量同时也是定量的两重性。张3、李4、王5、…都是人；x=1、x=2、x=3、…中的数都是x。
凡变量必有变域,代表变数的字母必代表其变域内的任何一个数。
变域是变量所有能取的数组成的集合。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
y = 100…0x>0的变域Z内一个不漏的每一数y = 100…0x>>x>0分别亿亿倍于别的正数x，相比下全是极大正数，虽然正实变量y可→0。由此可知必有Z外的正数<<Z的每一（所有）数y = 100…0x。否定此理者缺乏起码逻辑推理能力。
可见：Z远不可包含全部正数！中学数学断定y可一个不漏地遍取一切正数是搞错了变量变域的重大错误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误，不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
因为Z由一切形如y=100…0(y/100…0)= 100…0x的正数组成，所以Z外的正数y必≠100…0(y/100…0)而无对应数y/100…0！详论见[1]。
0_y1______________________________________________________________________________…____y2___y轴→
如上图，y轴上亿亿倍于y1=x>0的动点y2=100…0x在由大到小取值的整个变化过程中总与相应的动点y1=x大小极悬殊。这非常形象直观地显示y2=100…0x→0也有相比下总距0极远的另一面！数学极不发达期，0←y >>x>0中y→0的一面掩盖了其有相比下总>>x>0的距0极远的另一面；从而不知其远不可遍取一切正数。
参考文献
[1]黄小宁  凭傻瓜数学获重大发现：有正数x≠100…0（x/100…0）[J]，科学咨询，2007年8月第4期。
[2]黄小宁  初中生也能一点就明的极重大历史性错误：任何正数y=10000（y/10000）=10000x，见：当代中青年教师教育文集（下）[C]，北京：中国文联出版社，2001.12：91。
[3]黄小宁　教科书上对变量变域的判定有隐瞒不了的极重大错误，见：中国学校教育研究•数学卷［C］，北京：中国统计出版社，2001.12：97。
[4]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)　
初稿完成于2007-11-25

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代数常识揭示5千年“无最小正数”是重大错误
——写给中学生的科普短文
黄小宁    通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
师生们不能教（学）而不思，特别是对从西方传进来的学科。否则中国永远只能搞“紧跟”。
说数集J（例如无穷集（0，1））内一个不漏地一切数x全都有数比其小（大），不就是说有数<（>）J内一切数x吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。
变域是变量所有能取的数组成的集合。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
从代数角度来说，代数式中至少能代表2个数的字母就是变量（数），令其只代表1个数时就是定量，不能代表数的字母不是变数。所以变量与变（定）量之间也是有大小数量关系的。
有傻瓜相机也有傻瓜数学：说y>（<）x中的x可取3、2、1这3个数，就是说y可>（<）这3个数，说x可一个不漏地遍取一切正数，就是说有数y必可一个不漏地遍比任何正数都大（小）。当然，缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的。不识数学表达式所表达的内容者如文盲不识字，是数盲。
“变数y=f(x)”是说y的定义域D的各元x均有对应数y(x)，表明变量x所取各数也均由x代表（上、下文联系来看就知：此x是变量，彼x是定量。），D内各元都有一个共同的“名字”叫x。所以x不但是变量，同时也代表D内任一定量，故其具有既是变量同时也是定量的两重性。张3、李4、王5、…都是人；x=1、x=2、x=3、…中的数都是x。
凡变量必有变域。y>x的含义是对x的变域D的一切x都有y>x，故y显然可在D外取数y>D的一切x。y＜x直接表达有数y＜x的变域内的所有x，以及有数x＞y的变域内的所有y；因为式中变量都必能一个不漏地遍取变域的所有数。
故可有：定理A：y（x）>（<）x中两变量的变域必不相等！
不论x能代表几个数，只要其可一个不漏地遍比Z的所有数都小，则其必可代表Z外的数，与x是否只能代表一个数没有任何关系。
y= f(x)＝kx>x>0是说对于x的变域D的所有元x都有对应数y=kx >x>0。所有对应数y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。中学数学断定：D=Z且都包含一切正数，即断定y=f(x)及其中的x都可一个不漏地遍取一切正数——搞错了变量变域的重大错误！理由是：
①“Z的所有元y=kx>x>0”直接表达有数0<Z的所有元kx，同时也直接表达有正数x<Z的所有元kx（注！这里38字就推翻了5000年数学“常识”：无最小正数）。关键是椐上述傻瓜数学式中y可一个不漏地遍取Z的一切数使0与代表正数的x都必可一个不漏地遍比Z的所有kx都小而成为Z外的数，即x必可代表Z外的正数。这石破天惊地表明Z外还有比无理数“更无理”的更无理正数！要害是“变（定）量x”中的x都代表数！
②y= f(x)＝kx>x>0的定义域D的各元x一个不漏地均由x增大为y=kx>x>0所形成的以y为元素的新集Z就不能还是原集D了。否则，何来一个不漏地“全都变大”？另一方面，说Z内一个不漏地一切数y全都有数x比其小，不就是说有数x<Z内的一切数y吗？ 
凡违反语文常识的理论必是自相矛盾的错误理论。但有不少人不但不识此起码常识，反而还以为越是违反常识的理论越是高深的理论，因其受到了长期的误导教育被“洗脑”了。
③y=kx>x>0中的y的取数范围是受关系式制约的，其可遍取一切正数的必要条件是x与0都可<一切正数。此式显然限制式中y不可遍取一切正数。
可见若数学内的任何正数都能由kx（k>1）>0中的x>0代表，则并非数学内的任何正数都能由此kx代表。
任何正数y都有对应数y/k都可k>1倍于别的正数吗？形如y =k（y/k）=kx>x> 0的数y都至少>一个正数,都有对应正数y/k=x, 将这类数称为B正数。由函数知识所有B正数y =kx>x∈D组成了Z，形如y=kx>x>0的数y都能纳入Z内。所以Z外的正数必是非B正数∈D！
所以必有未知的不可至少>一个正数的正数y≠ k（y/k）而没有对应正数y/k<y, 即y小至不可>任何别的正数！使相应的符号y/k不能代表任何数，正如当 x=0时，c/x 不能代表任何数一样。这说明数学有史5千年来一直断定的“无最小正数”其实是重大错误！建立在此定论之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识。“物极必反，量变引起质变。”超过一定限度的太小正数x小至≠k（x/k）！详论见[1]。
所有已知正数组成的R+ 的各数x （所有已知正数都由此x代表）>>x/1000>>x/1000，000>>…>>…>>…表明其相比下全都是距0无限远的极大极大…..（无穷多个极大）的无穷大正数x。此式直接表达有无穷多个正数都<<所有已知正数x。只识此类x犹如只识光年尺度。所以R+仅为数学内的正数宇宙中的一颗星球！
据定理A，初三数学课本就有重大错误：断定直线函数y=y(x)=ax及y=y(x)=x+a等的定义域不论a是何实数一律包含所有实数。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
天才少年韩寒猛烈批评语文教育。其实，从西方传进来的数学教育更须作深刻的反思！
参考文献
[1]黄小宁  百字推翻5000年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年7月第2期：29。
[2]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[3]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[4]黄小宁  再论发现最小、大正数彻底推翻康托无穷集论破解2500年芝诺世界难题（上），见：同[3]：2002.6:21。
[5]黄小宁  再三论证有最大自然数推翻百年康脱集论，见：中华素质教育理论与实践新探（3）[C]，北京：中国戏剧出版社，2005.12：501。
[6]黄小宁  再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[7]黄小宁  极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报·教研版［N］，2002.11.22，4版。
[8]黄小宁  教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0，见： 中国学校教育研究· 数学· 计算机卷[C]，北京：中国民主法制出版社，2004.3:8。
[9]黄小宁  数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11:994。
[10][11]黄小宁  极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，同[10]，2003.9：367—369。
电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007.11.2。

不是千载而是几千载难逢的极重大革命发现已公开发表

百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631

（此文公开发表于：科学咨询，2007年10月第2期：29）

[摘要]据“两集不对等就更谈不上相等”仅用百字就推翻了5000年数学“常识”：无最小正数，揭示（0，k）内有最小、大元素；0<y<b不一定表示y的变域是（0，b）。从而完全证实了著名数学家庞加莱百年前的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。” 所以自有直线函数概念以来数学就一直搞错了大多数函数的值域。

关键词  中学数学的重大错误； 最小正数；  推翻百年无穷集论；  推翻数学定理  ；搞错变量的变域 ； 最重大根本错误
“定理4(实数集的处处稠密性)  任给两不相等的实数a、b，恒可找出一实数c使c介于a与b之间。证…。”(莫绍揆《极限论新解》，北京：高等教育出版社，1992.5：6-7)。

“定理5：一个集合是无限集的充要条件是它和自身的某一个真子集对等（田开璞《现代科学数系论》11页）。”

“变数y=f(x)”是说某数集D的各元x均有对应数y(x)，表明变量x所取各数也均由x代表（读者上、下文联系来看就知：此x是变量，彼x是定量。），D内各元都有一个共同的“名字”叫x。说由大到小取值的x≥0必能取尽一切正数后取0，同时又说其所取各正数均为x=100（x/100）=100y＞99y＞98y＞97y＞…＞y＞0,即说此x→0总与0至少相隔99个数地“隔数相望”永不重合。这显然前后自相矛盾！所以必有太小正数x小至≠100（x/100），以及必有…。

“‘假传万卷书，真传一句话’：沿同一线运动的不断靠近的两点之间的距离ρ≥0不取完变域U内的一切正数就绝对不能取0。不纠正几千年重大错误：U内无最小正数，就不能破解2500年芝诺著名运动难题。不能真正用数表达运动的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段[1]。”

“线段是由点组成的点集”明确表明“点”是线的组成部分，线段的长度显然是各部分的长度的总和。小学生也一眼看出“长度为0 的点能组成有长度的线段” 是典型的违反起码常识的无中生有论啊 ！

一、“变量y＜x”的含义推翻几千年“任何正数x> x/k>0”

从代数角度来说，代数式中至少能代表2个数的字母就是变量。定量y＜x=任何正数（x可取任何正数），表示有非正数y＜任何正数；变量y＜x=任何正数，表示变量y必可＜任何正数而取（代表）非正数y。两式都一目了然地表达有非正数y＜任何正数。例如“任何正数x>x-1=y及任何正数x> -x=y”就是真理。注，在不致混淆时才可将“任何>2的正数x”简写为“任何正数x>2”。

数学有史五千年来一直断定任何正数x>x/k = y>0（x必有对应数x/k，k>1），即断定任何正数都能由式中x代表。由上可知这就是断定变量y>0必可＜任何正数而取非正数——重大错误！

所以必有未知正数x不可表为x>x/k = y>0而无对应数x/k。所以，断定

0 < y = x/2<x（变域为H，H各元x>0均有对应数x/2 = y）

中的x可取任何正数、H含所有正数，就是断定式中y必可变至<一切正数而取非正数——中学数学的重大错误！

二、本文的最关键问题完全是中学数学问题

两集对等就是说两集分别包含同样多（个）元素——两集相等的必要条件。两集不对等就更谈不上相等。

搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。若任何正数都能由2x>0中的x代表，则并非任何正数都能由此2x代表；…。

由① 0< x <1得② 0< kx< k（>1的定量），若①表示x的变域是（0，1）= D，那么②也表示kx＝y的变域Z是（0，k）=D∪[1，k）=V吗？即定义域为D的y =kx的值域Z=V吗？

这一本文的最关键问题完全是中学数学问题。

三、百字推翻5000年数学“常识”：无最小正数

最关键的是若Z与V是同一数集，则两者必对等——Z=V的必要条件。

如水分子的集合必占宇宙的一定空间一样，任何非空数集必占数宇宙的一定空间。集D所占有的数空间称为D空间，其容纳不下比集D多元素的集。

y= f(x)＝kx 是说x的变域D的各元x均有对应数y=kx与之成双配对。所有对应数y组成的集合Z就是 f(x) 的值域，因其各元y可看成是由D 的各元x均由x变换为 y而来的，所以两集对等：D内有多少（个）x，Z内也有多少（个）y。故Z空间=D空间。

①②显示V=（0，k）内形如kx> x∈D的正数y=kx的全体组成了Z，其各元kx的对应数x的全体只能布满D空间而不可布满V空间。这石破天惊地表明Z与V不对等：V至少比Z多一个元素！从而更不相等。

任何正数y都有对应数y/k都可k>1倍于别的正数吗？形如y =k（y/k）=kx>x> 0的数y都至少>一个正数,都有对应正数y/k=x, 将这类数称为B正数。由函数知识，Z包含了V的所有B正数y =kx>x∈D，即V内形如y =k（y / k）=kx>x∈D的正数y的全体组成了Z。

D的各元x均由x变换为y=kx就形成了以y为元素的新的数集Z与D对等。以上已阐明Z =V(B数)（V内所有B数组成的集）≠V！

Z的各元kx全都有“对象”x∈V的一部分D了，从而全都不能与V的另一部分[1，k）的各元x“搞对象”。否则就是“搞重婚”。可见Z与V不对等！从而更不相等。所以Z～D是V的真子集使V至少有一Z外的非B正数！所以此段百字证明了：

V内有未知的不可至少>一个正数的正数y≠ k（y/k）而没有对应正数y/k<y, 即y小至不可>任何别的正数！使相应的符号y/k不能代表任何数，正如当 x=0时，c/x 不能代表任何数一样。这说明数学有史5千年来一直断定的“无最小正数”其实是重大错误！建立在此定论之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。所以：

[0，1]各元可排为一无穷数列：0，最小正数0′,20′,…，1-0′，1；D内有最小、大正数：0′与 1-0′；各正数均为0′的整数倍。[0，k>1]各数可排为：0，0′，20′，…，k-0′，k。…。所以：

数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。

对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。

定义域为D的f(x)的值域Z=V（B数）才是正确的，去掉“（B数）”就是中学数学的重大错误：将V的部分：Z误为全体，从而使康脱推出“数学可不受最起码语文、科学常识：部分<全体的束缚”的“革命发现”。这使数学有方向、路线错误！

科学发展的道路不能是笔直的，有时误人歧途地走弯路是难免的。由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝对不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握。

参考文献

[1]黄小宁  “最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康——再三论证“无最小正数”是几千年重大错误，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.

[2]黄小宁  再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。

[3]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。

[4]黄小宁  发现最小正数破解2500年芝诺疑难，见：中国高等教育研究·数学卷[C]，同[2]：2000.12：17。

[5]黄小宁  再论发现最小、大正数彻底推翻康托无穷集论破解2500年芝诺世界难题（上），见：同[3]：2002.6:21。

[6]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[7]黄小宁  极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报·教研版（N）2002.11.22，4版。

电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007-9-2

初三数学就有违反语文常识的重大错误
—— y = n + 1的定义域显然≠N
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631

5千多年数学史上人类最早认识的数是非0自然数，对这类数的研究已有五千多年。小学老师就教育学生：任何自然数与1的和必还是数学的自然数。此“公理”的数学表达式是：任何自然数n < n + 1∈N＝｛0，１，２，…，n，…｝。
上式说由现在数学范围内的所有自然数组成的N的各元素n均有同属N的后继数n+1。数学常识：“任何自然数n”中的n可取现在数学的任何（所有）自然数。       
若N的各元n都有对应数n+1，则所有的n+1都∈N吗？
数学式中各变量一般均只能取数学领域内的数。凡变量必能有序地取尽其变域内的所有数。“变数y=f(x)”是说某数集D的各元x均有对应数y(x)，表明变量x所取各数也均由x代表（上、下文联系来看就知：此x是变量，彼x是定量。），D内各元都有一个共同的“名字”叫x。所以x不但是变量，同时也代表D内任一定量。
从代数角度来说，代数式中至少能代表2个数的字母就是变量，令其只代表1个数时就是定量，不能代表数的字母不是变量。所以变量与变（定）量之间也是有大小数量关系的。
判定自变量都能取些什么数是初三数学的重要内容。
在N内取值的y =n + 1> n = 0，1，2，…
中的自变量n能遍取N的一切数吗？式中y随着n的变大而变大，说式中n可由小到大一个不漏地遍取N的一切数，就是说y可大到> N的一切数，即说有（属N的）数y > N的一切数——重大病句！此式一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以式中数列≠N，即y =n + 1的定义域≠N！
只有完全丧失了正常思维能力的人才认识不了此一字那么浅的道理啊！
变域是变量所有能取的数组成的集合。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
y>x的含义是对x的变域D的一切x都有y>x，故y显然可在D外取数y>D的一切x。y＜x直接表达有数y＜x的变域内的所有x，以及有数x＞y的变域内的所有y；因为式中变量都必能一个不漏地遍取变域的所有数。故可有定理A：y（x）>（<）x中两变量的变域必不相等！
有傻瓜相机也有傻瓜数学：说y>（<）x中的x可取3、2、1这3个数，就是说y可>（<）这3个数，说x可一个不漏地遍取一切正数，就是说有数y必可一个不漏地遍比任何正数都大（小）。当然，缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的
有明摆着的傻瓜事实。课本及老师断定y（x）= k x>> x＞0中的x可取任何正数，其变域包含所有正数。这显然是重大错误：说式中y可>>任何正数，即说y的变域内有正数y>>任何（所有）正数——重大病句！。“对任何自然数n都有y =n-1 < n ”显然表达y可<任何自然数，即说y可取<一切自然数的数；同样，“对任何自然数n都有自然数y=n+1 > n ”显然表达y可>任何自然数，即说有自然数y>一切（任何）自然数——重大病句！
据定理A，初三数学课本就有重大错误：断定直线函数y=y(x)=ax及y=y(x)=x+a等的定义域不论a是何实数一律包含所有实数。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。天才少年韩寒猛烈批评语文教育。其实，从西方传进来的数学教育更须作深刻的反思！
学数学最关键的是须明白代数式所代表的全部内容，否则就是鹦鹉学舌，从而成为数学王国里的睁眼瞎。不能只会背书却不明其实质内容。反复强调：若代数式y<（>）x中的x代表任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y<（>）任何正数 。
有人说“打倒张3”表示打倒张3，而“打倒李4”就非表示打倒李4；理由是张3罪大恶极而李4功德无量。有“内行”说：
⑴“对任何（所有）正数x都有数y =x-1< x”
⑵“对任何正数x都有数y =x+1> x>0”
中的⑴表达有数y <任何正数，而⑵就非表达有数y >任何正数，不是病句，不能认为其是错误的表达式；理由是有数y <任何正数，而没有数y >任何正数；于是人类未认识0与负数时⑴也非表达有数y <任何正数，理由是没有非正数y <任何正数。       
如此“高深莫测”的理论能成立，世界上就无“病句”概念了！正常人谁能接受思想混乱的“高深”理论？
有工程师“老师”将0.001误为0.01造成重大损失，却辩解说：我当时写出的0.01不是表示0.01而是表示0.001，应具体情况具体分析地将其正确理解为0.001；损失的责任应由错误理解0.01含义的施工员承担。
此不讲职业道德的辩解将全世界人民都当成是大傻瓜了。
关键是若李4功德无量，就绝对不能有“打倒李4”，须有错必纠。同样，若正数组成的Z的任何（所有）元x都有对应正数y（x）>（<）x，则Z就绝对不能包含所有正数即不能有⑵！因为有正数y >（<）Z的任何（所有）元x。不明此理就要出现上述的重大病句。
各已知正自然数n <<10 0…0n<<100…0，00…0n<<…<<…表明其相比下全都是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小正自然数，虽然其中有不少n都>“任给定正数”M。所以，所有已知n组成的N仅为数学内的自然数宇宙中的一颗星球！以球为宇是近于宇宙那么大的错误。此重大错误没能及时发现必使人推出错上加错的一系列更重大错误论断，例如使康脱“推翻”最起码科学常识：部分<全体。常识性错误是最重大根本错误！
说明：本文是论文《50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数》的一节。
参考文献
[1]黄小宁  再三论证有最大自然数推翻百年康脱集论，见：中华素质教育理论与实践新探（3）[C]，北京：中国戏剧出版社，2005.12：501。
[2]黄小宁  再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[3]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[4]黄小宁  再论发现最小、大正数彻底推翻康托无穷集论破解2500年芝诺世界难题（上），见：同[3]：2002.6:21。
[5]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[6]黄小宁  极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报•教研版（N）2002.11.22，4版。
[7][8]黄小宁  极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛（C），北京：人民日报出版社，2003.9：367—369。
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立新老师：你好！你对课堂教学每个细节的点评我都看了，觉得写的很好。你是一个善于思考的老师，也是善于在教育教学过程中进行理性反思的老师。如果有可能，不妨将你自己教育教学中的问题加以分析评判，相信你会不断加深对教学的认识，提升自己的教育教学水平的。

您好：郑老师：
　　一开始看了您的＂课堂教学的N个细节＂后，就被深深地吸引住了，这些细节都是教师们每天所面临或者说是所正在经历着的细节，有很多是处于无意识状态下的细节．
　　这两天随着学习，留下了一点自己不成型的感慨，恰当与与否，请您多多包含．
　　在您这里不仅仅是阅读，更重要的是您给了我对我自己教学的一个启示，自我反思就从自己的课堂教学细节开始反思．让那些熟视无睹的细节成为自我突破的一个支点．

朋友,最近教育局又在折磨老师了,要考<学构科研>,能不能帮忙弄点复习资料,如果还能准备些有用的复习题就太感谢了!!!

“不言”书店，我去过。你们那里有我的一些书，谢谢你们的推荐。你们为教育界同行了解相关图书信息提供了一个非常好的平台和窗口，影响范围也越来越大，谢谢你们！祝你们越办越好！

从我们网站上一查,郑老师还真主编过不少书呢. 我能搜到的是32本.可算是多产作者了.
课程与教学类,中小学教育类.教育心理学类图书资料欢迎登陆我们网上查询.网址:  http://www.buyan.cn  希望能为更多的教育工作们服务. 夏日愉快!

周老师我觉得你上课只会吹牛，吹牛来吓学生！
你的学生：计算机43班的

太浅显语文常识暴露太重大错误：任何正数y = k（y/k）

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631

是培养应试高手还是培养敢于独立思考不迷信盲从权威定论的高素质人才？这是关系到国家前途命运的重大问题。天才少年韩寒猛烈批评语文教育。其实，从西方传进来的数学教育更须作深刻的反思！错误的教育会把人教成为指金为粪的极无知者。

y = f(x)是说x的变域D的各元x均有对应数y = f(x)。这所有的定量y（可将“定（变）量y”中的文字省略）组成的集合Z就是 f(x) 的值域。D的各元x均由x变换为y = f(x)就形成以y为元素的新的数集Z。

大小极悬殊的2个正数x与kx，大的与小的相比是距0极远的极大正数。

设（0，b）=V包含了数学所需用的一切小正数。将V各元x一个不漏地均由x扩大为100…0x=y，组成新的正数集U，这U显然不能与V一样一个不漏地包含数学所需用的一切小正数。不能头脑简单地断定U =（0，100…0b）。道理很简单：一切小正数一个不漏地全都扩大许多倍组成的数集（其各元相比下均距0极远）再也不能一个不漏地包含一切小正数了。“无最小元素”的无穷集V的各元x均由x扩大为x + 0.1所形成的新的无穷集不能包含原无穷集的全部元素。

一军事集团各组成成员全都发生同一性质的重大改变（例如全都负重伤），变化前后的集团显然有重大不同。无穷集（1，2）或（1，∞）的各元全都发生重大改变：由x变换为亿亿倍于x的100...0x（以下常记为kx），变化前后的集显然是2个根本不同的集。

总之，一正数集各元全都变大许多倍后形成的新的数集绝对不能还是原数集了。否则，何来一个不漏地“全都变大”？凡违反语文常识的理论必是自相矛盾的重大错误。如[1]所述，林群院士精辟指出：“数学归根结底也在常识之内。”凡违反真正常识的学说绝非真正意义上的数学，而是极重大数学错误。

几何常识：数轴上一个不漏的各个正数点y=x全都离开原来位置地向前移动至y=kx>>x处，必使y轴上有正数位置y=x在一切前移了的正数点的后面，即在一切形如y =100...0x的正数点的后面：

y = x<<一切y = 100...0x（相比下均距0极远）>0.

设数学内的全部正数组成D，从西方引进来的数学断定定义域为D的y =kx>0的值域Z = D，理由是几千年公理：任何正数y都可表为y = k（y/k）=kx。如[2]等文献指出，这是初中生也能一点就明的极重大历史性错误。注！若D的各元x均有对应数kx∈Z，则Z内必有元素不能是数学内的数，但限于篇幅本文不谈。

D的各元x一个不漏地均由x扩大为100…0x=y所形成的新的正数集Z绝对不能还是原数集D了。哪能有组成正数集的各元x全都发生同一性质的重大变动，而数集却岿然不动的道理呢？！

正数x变大100…0倍后与原来相比是极大正数，一正数集内各数相比下全都是>>0的距0极远的极大正数，能说其包含一切正数？Z内各数y =100…0x>>x>0相比下全都是亿亿倍于x的>>0的极大正数，表明Z外必有太小正数 << Z的所有y，因为有极大必有极小——这是逻辑学常识。有傻瓜相机，也有傻瓜常识啊!!!

可见并非任何正数y = k（y/k）=kx，而是任何已知正数y =…。这意味有未知的比无理数更“无理”的更无理正数y≠k（y/k）。

所以由可取一切正数的x>0变形而来的100…0x>0的解集远不可包含一切正数。

变域是变量所有能取的数组成的集合。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

发现无理数竟给发现者惹来杀身之祸！这表明相比之下获取重大科学发现并不难，难的是将其公之于世以造福人类。太伟大的科学太易遭“科学警察”的扼杀啊！没有伟大的献身精神就绝对没有伟大的科学发现。中华民族的伟大复兴，科研成果是关键。任何一个有良心的中国人都不愿看到历史的悲剧重演！

参考文献：

[1]黄小宁  极浅显常识凸显数学课本有极重大根本错误——林群院士的真知灼见使我获极重大发现，见：中国高校教育研究·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.10:5。

[2]黄小宁  初中生也能一点就明的极重大历史性错误：任何正数y=10000（y/10000）=10000x，见：当代中青年教师教育文集（下）[C]，北京：中国文联出版社，2001.12：91。

[3]黄小宁  y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。

[4]黄小宁  y =1010x < 1010且>0的值域显然≠（0，1010）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。

[5][6]黄小宁  极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，北京：人民日报出版社，2003.9：367—369。

[7]西方数学的常识性错误显示其有重大缺陷，见：中国高等教育研究论丛·数学·计算机卷[C]，北京：中国社会出版社，2001.6: 68。

[8]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7

[9]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

电子信箱:hxl268@163.com （hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)    初稿完成于2007-5-7。 

期待着和郑老师的交流。

新课标的出台显然在教育上掀起了新的一轮改革浪潮，这是大势所趋。但我感觉在标准的制定上只是立足于城市而且是条件很好的大城市，而没有结合广大的农村地区。首先从农村学校的条件上看根本无法实施，无论是实验设备和当地的自然、人文和社会环境（即所谓教学资源）上都不能适应。其次，农村中小学的师资水平不能适应。就我所知绝大多数教师对于新课程里面提到的理念都不知道，更不要说什么研究性学习、任务型教学、行动研究到底是什么东西以及如何实施了。况且，所谓任务型教学到底是不是适合我国大部分地区的实情？再看学生因素，农村学生（包括家长）已经习惯了教师教，学生学。这种观念已经根深蒂固。他们往往不愿意自主学习或者合作式学习。对于这些他们无所适从。因此可以看出有的老师埋怨学生不合作的原因。另外，教材里的很多研究性的东西由于教师和学生的知识面和当地的各方面的条件农村根本无法进行。因此，如何制定出既适合新时期的需求又适合广大农村实际的课程标准和与其相应的教材则是摆在我们面前的当务之急。反之，照目前这样下去势必进一步加大城乡教育的差距。这是作为一个农村一线教育工作的看法。不知郑老师怎么看。（我曾多次聆听您的报告从中受益颇多）

特意接您到俺新开的博客来作客，俺不胜荣幸。谢谢您！
http://blog.sina.com.cn/caozy

百字推翻百年无穷集论
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
若0 ≤ x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的0 ≤ 2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。
y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x。这所有的y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。
若数集A＝B，则两者必对等即A的各元必与B的各元一一对应，这是A＝B的必要条件。
Z的各元y＝2x是由 [0，2]=2D的子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z的生成过程表明其各元不可与2D的各元一一对应而只可与D的各元一一对应。这说明使Z=2D的必要条件也不能满足，故Z ≠ 2D。注！Z的各元2x中的x都被限制只能在D内，从而使D外x 的对应数2x不属Z。
所以Z各元与D各元一一对应 ≠ 2D各元与D各元一一对应，数学引以为豪的百年无穷集论是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
参考文献
[1]黄小宁  数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。
[2]黄小宁  y =1010x< 1010且>0的值域显然≠（0，1010）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。
[3][4]黄小宁  “任何正数x=2·x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。
[5]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7
[6]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[7]黄小宁  y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。
[8]黄小宁 “最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007-3-13。                           
             

数学有史五千年来的最重大革命发现：0≤y≤2不表示y的变域是[0，2]
———再三论证数学书有隐瞒不了的极重大根本错误
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
若（1）式0 ≤x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的（2）式0 ≤2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。
曲线积分论的理论根据是：充分短的曲线段几乎是直线段。曲线段点集M为何与相应的以切点为公共点的切线段点集N近似相等？因M的各点与N的各点一一对应几乎重合或重合在一起。M可看成是由N的各点都发生位移而成的。一数集各元全都变大后形成的新的数集不能包含原数集的全部元素。否则，何来“全都变大”？例如，无穷集（0，1）的各元x均由x扩大为x+0.1所形成的新的无穷集不能包含原无穷集的全部元素。
若数集A＝B，则两者必对等即A的各元必与B的各元一一对应，这是A＝B的必要条件，其各元显然具独特的性质S：A内由小（大）到大（小）的每一 数x与B内由小（大）到大（小）的每一数y一一对应相等。
增函数y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x。这所有的y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。2x中的x从取1起由大到小地取出一个个数x就派生出从大到小的一个个 2x，组成Z。这是增函数的重要特点T。
Z的各元y＝2x是由 [0，2]=2D的子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z的生成过程表明其各元不可与2D的各元一一对应而只可与D的各元一一对应。这说明使Z=2D的必要条件也不能满足，故Z≠ 2D。注！Z的各元2x中的x都被限制只能在D内。
所以Z各元与D各元一一对应≠ 2D各元与D各元一一对应，数学引以为豪的百年无穷集论是重大的百年之误！
除了自欺欺人者，谁也不否认一目了然的事实C：一由非负数组成的非负数集内各正数x全都变大（小）为kx（正数k>或<1）后形成的新非负数集不能包含原集的全部元素，从而使新集绝≠原集。（0，2）与[0，2]的区别只是，后数集是由前集加多一个元素0而成的。所以一眼看出两集的各正数元x均变大为1.1x后形成的新集都不能包含原集的全部元素。一非负数集A各元x都由x变换为y=f（x）（相应的变量y是增函数）从而形成以y为元素的新的非负数集B，据特点T及性质S显然当且仅当每次变换都＝无变换即总有y=f（x）=x时，才有A＝B。
形如2x的正数都可2倍于别的正数。Z是由形如2x=2（y/2）=y ≤2的非负数的全体组成，而Z只可与D对等，所以形如x=2（x/2）≤2的正数的全体只占2D所有正数的一半。这说明2D的一半正数x都 ≠ 2(x/2)而无对应数x/2，其都不可2倍于任何别的正数！这正如1，2，3，4，5，6，7，…中形如2n（n=1，2，3，…）的数才可2倍于别的自然数，而其余的数都不可2倍于任何别的自然数一样。可见，D中有Z所不具备的数，详论见[5][6]。
然而几千年数学却一直断定Z=2D，断定 “任何正数x =2（x/2）”。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。例如康脱推出“推翻”最起码科学常识：部分<全体的“革命发现”。 由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝对不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握。
有人说应具体情况具体分析地将Z与2D的不对等，正确地理解为对等。即使此典型的思想混乱的“高深”理论获得公认，那也可据上述性质S证明Z≠ 2D。关键是2x是x的增函数。
可见（2）式表示2x可一个不漏地遍取2D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，2]（2x）。
据改写历史的事实C，x≥0的变域与相应的100…0x≥0的变域差别重大根本不相等！
（2）式中的2x＝y 能遍取定义域D内一切数吗？即Z能包含D的一切x吗？这须研究 （3）式
0 ≤2x = y ≤1（x被限制0 ≤x ≤1/2）
是否表示2x的值域Z′= D。Z′的各元y＝2x是由D的子集[0，1/2] 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。故Z′各元不可与D各元一一对应，使Z′= D的必要条件也不具备，故Z′≠ D。2x只能遍取D内一切形如2x的数。
（3）式表示2x可遍取D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，1]（2x）。
据改写历史的事实C，将（2）中的2x变换为kx（k>1）都不能表示kx的变域是[0，k] ，kx只能遍取[0，k]内一切形如kx的数。推论：从西方传进来的数学中，用而不知的深潜“地下”几千年的地下数远远多于已知数。对正数的认识的极惊人浅薄必使人无法认识沿X轴运动的质点是如何由x>0处动至原点处的。不能真正用数表达运动的相关学科还处于与中医等一样的不知其所以然的唯象论阶段。
参考文献
[1]黄小宁  数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。
[2]黄小宁  y =1010x< 1010且>0的值域显然≠（0，1010）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。
[3][4]黄小宁  “任何正数x=2•x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。
[5]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷，中国农业科技出版社，2003.5:7
[6]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[7]黄小宁  y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，（2）：42。
电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007-3-13。更新于2007-3-15。

0≤2x≤2不表示2x的变域是[0，2]

———再三论证数学书有隐瞒不了的极重大根本错误

黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631

搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

若（1）式0 ≤x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的（2）式0 ≤2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。

曲线积分论的理论根据是：充分短的曲线段几乎是直线段。曲线段点集M为何与相应的以切点为公共点的切线段点集N近似相等？因M的各点与N的各点一一对应几乎重合或重合在一起。M可看成是由N的各点都发生位移而成的。一数集各元全都变大后形成的新的数集不能包含原数集的全部元素。否则，何来“全都变大”？

若数集A＝B，则两者必对等即A的各元必与B的各元一一对应，这是A＝B的必要条件，其各元显然具独特的性质S：A内由小（大）到大（小）的每一 数x与B内由小（大）到大（小）的每一数y一一对应相等。

增函数y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x。这所有的y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。2x中的x从取1起由大到小地取出一个个数x就派生出从大到小的一个个 2x，组成Z。这是增函数的重要特点T。

除了自欺欺人者，谁也不否认一目了然的事实C：一由非负数组成的非负数集内各正数x全都变大（小）为kx（正数k>或<1）后形成的新非负数集不能包含原集的全部元素，从而使新集绝≠原集。（0，2）与[0，2]的区别只是，后数集是由前集加多一个元素0而成的。所以一眼看出两集的各正数元x均变大为1.1x后形成的新集都不能包含原集的全部元素。一非负数集A各元x都由x变换为y=f（x）（相应的变量y是增函数）从而形成以y为元素的新的非负数集B，据特点T及性质S显然当且仅当每次变换都＝无变换即总有y=f（x）=x时，才有A＝B。

Z的各元y＝2x是由 [0，2]=2D的子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z的生成过程表明其各元不可与2D的各元一一对应而只可与D的各元一一对应。这说明使Z=2D的必要条件也不能满足，故Z≠ 2D。注！Z的各元2x中的x都被限制在D内。

所以Z各元与D各元一一对应≠ 2D各元与D各元一一对应，数学引以为豪的百年无穷集论是重大的百年之误！

形如2x的正数都可2倍于别的正数。Z是由形如2x=2（y/2）=y ≤2的非负数的全体组成，而Z只可与D对等，所以形如x=2（x/2）≤2的正数的全体只占2D所有正数的一半。这说明2D的一半正数x都 ≠ 2(x/2)而无对应数x/2，其都不可2倍于任何别的正数！这正如1，2，3，4，5，6，7，…中形如2n（n=1，2，3，…）的数才可2倍于别的自然数，而其余的数都不可2倍于任何别的自然数一样。可见，D中有Z所不具备的数，详论见[5][6]。

然而几千年数学却一直断定Z=2D，断定 “任何正数x =2（x/2）”。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。例如康脱推出“推翻”最起码科学常识：部分<全体的“革命发现”。

有人说应具体情况具体分析地将Z与2D的不对等，正确地理解为对等。即使此典型的思想混乱的“高深”理论获得公认，也可据上述性质S证明Z≠ 2D。关键是2x是x的增函数。

可见（2）式表示2x可一个不漏地遍取2D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，2]（2x）。

据改写历史的事实C，x≥0的变域与相应的100…0x≥0的变域差别重大根本不相等！

（2）式中的2x＝y 能遍取定义域D内一切数吗？这须研究 （3）式

0 ≤2x = y ≤1（x被限制0 ≤x ≤1/2）

是否表示2x的值域Z′= D。Z′的各元y＝2x是由D的子集[0，1/2] 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。故Z′各元不可与D各元一一对应，使Z′= D的必要条件也不具备，故Z′≠ D。2x只能遍取D内一切形如2x的数。

（3）式表示2x可遍取D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，1]（2x）。

据改写历史的事实C，将（2）中的2x变换为kx（k>1）都不能表示kx的变域是[0，k] ，kx只能遍取[0，k]内一切形如kx的数。推论：从西方传进来的数学中，用而不知的深藏“地下”几千年的地下数远远多于已知数。对正数的认识的极惊人浅薄必使人无法认识沿X轴运动的质点是如何由x>0处动至原点处的。不能真正用数表达运动的相关学科还处于与中医等一样的不知其所以然的唯象论阶段。

参考文献

[1]黄小宁  数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。

[2]黄小宁  y =1010x< 1010且>0的值域显然≠（0，1010）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。

[3][4]黄小宁  “任何正数x=2·x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。

[5]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷，中国农业科技出版社，2003.5:7

[6]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[7]黄小宁        y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，（2）：42。

电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007-3-13。更新于2007-3-15。

先向您拜年，祝您全家幸福！
孩子今年高考，成绩一模刚刚进入重点线，请您给孩子指条路，我们全家向您叩谢！

祝福郑老师快乐永远！心想事成！

在此送上我及时的祝福——愿幸福像内存一样经常溢出，金钱像硬盘一样存个没够，生活像CPU一样奔腾不息，前途像显示器一样无比明亮！祝您春节快乐！万事如意！

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再论数学课本的重大错误应及时纠正
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631
“任何正数x”与“x=任何正数”都表示x可取任何（一切）正数，任何正数都可由此x代表。
学数学最关键的是须明白代数式所代表的全部内容，否则就是鹦鹉学舌，从而成为数学王国里的睁眼瞎。但应试教育使网上有不少掌握删贴权的只会背书却不明其意的鹦鹉学舌者企图封锁真相从而使世人继续受害。反复强调：若代数式y<x中的x代表任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y<任何正数。
    y = f(x) = 0< x = 任何正数（x的变域为D，D各元x>0均有对应数 y）…………… (1)
0 < y = g(x) = x/2 < x = 任何正数（x的变域为F，F各元x>0均有对应数x/2 = y）…… (2)
y = h(x) = x-1＜ x = 任何正数（x的变域为D，D各元x>0均有对应数x-1 = y）……(3)
（1）—（3）式都表示式中x都可一个不漏地遍取任何（一切）正数，断定D = F含一切正数。这也就是断定式中各代表数的y都可一个不漏地遍比任何（一切）正数都小从而取（代表）非正数y<任何正数。这显然是重大错误！因为（2）式中的y>0是绝对不可取非正数的。所以g(x)中的x不可取一切正数！其定义域F不可含一切正数！这间接表明F外还有正数！因为F由一切形如x =2 (x/2)的正数组成，所以F外的正数x必 ≠ 2(x/2)而无对应数x/2！
形成鲜明对比的是D就含一切正数，因为（1）与（3）式都没限制y只能取正数。x=y>0可不受任何限制地取任何正数，而x>y>0被限制于所取各数x>y>0全都是至少大于一个正数的较大正数x>y>0，使其不可取全部正数，因为有大必有小。
搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
中华民族的伟大复兴，人才是关键。不纠正育人教材的重大错误而继续误人子弟，危害极大！
某些“教师”否认“0 < y < x =任何正数”是不能成立的错误表达式、是病句：有正数y<任何正数，暴露其缺乏起码的代数常识。更有伟大的逻辑：当a比b大时“a>b”表示a比b大，否则，a比b小时，就应正确的将其理解为表示a比b小，不能说其是错误的表达式。按此逻辑，就应“正确”地将（2）式理解为非病句。
凡视力正常的人都能一眼看出光身的皇帝光身啊！故事中的骗子及受骗者说：只有愚昧无知者才见皇帝光身！
参考文献
[1]黄小宁  初中生也能一点就明的极重大历史性错误：任何正数y=10000（y/10000）=10000x，见：当代中青年教师教育文集（下）[C]，北京：中国文联出版社，2001.12：91。
[2][3]黄小宁  极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，北京：人民日报出版社，2003.9：367—369。
[4][5]黄小宁  “任何正数x=2•x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。
电子信箱:hxl268@163.com （hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)    初稿完成于2007-2-10。

郑老师您好！十分抱歉的是未得到您的同意，我从您这转载了好多文章。万分感谢的是收获了很多！

《成长博客周刊》（第8期）（人物——名家）隆重推荐了您，特此致谢！敬请关注！

******慢慢生活，向内生活******

    我们走得太快了～

    睡梦正酣就在警醒清晨的奔忙，午间快餐尚在咀嚼早已开始计划午后的工作。采菊东篱的心境自不必言说，就连日出而作、日落而息的生活也一去不返。白驹过隙，留下的是什么？

    我们看得太多了～

    事业的辉煌、收入的丰厚、饮食起居的惬意、孩子的学业与成就，看得多，惦得就多，在不断的催促中奔入变幻流动的场景。出场、做秀，疲惫与光鲜全在脸上。摘下面具，背后的是什么？

    放慢脚步，才有时间品味、留驻。

    检视内心，才有思绪释放、丰富。

    众人奔忙我从容，

    世相浮华我素朴。

    慢慢生活。

    向内生活。

    跳开生活过生活。

    周国平说：让我们丰富地安静。

把文章的字体字号及字间距调整一下好不好?

经常在您这里驻足.
这次一口气看了课题设计、方案撰写及叙事研究。
有的人调侃、有的人浪漫
您是严谨、朴素与清晰。

“中小学教导主任在学校工作中的地位与职责。”
    地位，作用应该有多大？
    职责，有介定吗？哪些内容？
  我盼望获得指导！

过来拜望郑老师,问候郑老师,谨此致最美好的节日祝福！！

我来自邵阳隆回县桃洪镇，是中国教育电视台《音乐伙伴》的节目主持人丁叮。登录丁叮个人网站 sylife.cn/d 可以和丁叮面对面。孩子是父母的希望，是家庭的命根。本人将把自己的成长秘密公开在丁叮网站中，并将和家乡人们一起探讨小孩教育的热点话题。欢迎老乡给我的节目提意见，欢迎大家在本人网站 sylife.cn/d 中留言或参与讨论。邮箱：561190@163.com

┏━┓┃中秋快乐┃┏━┓
┃逢┃┗━━━━┛┃迎┃
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┃世┃━┳━┏━┓┃秋┃
┃举┃┃┃┃┗━┛┃佳┃
┃国┃┃┃┃┏┳┓┃节┃
┃共┃　┃　┃╋┃┃同┃
┃欢┃　┛　┗┻┛┃庆┃
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<娃娃过节>出版了!!!

中国学前教育研究会"十五"优秀研究成果<中国传统节日文化与幼儿园课程的整合性研究>全程回放

一个基于文化断代"危险性"的忧思

一个关注儿童现实与未来生活的探索

一个融合成人文化与儿童文化的尝试

一个诞生在一线的"例子"

  这是我和课题组的老师们历时四年的思考与努力,我们曾从这里走过,希望更多热爱孩子的人从这里走向远方.

  做课题就是讲出我们的故事并且相信

----感动自己的一定能感动别人!

教师节即将来临，在此祝各位好友心想事成！万事如意！有空常做客！呵呵！

我们常年经营各种图书。共有414种。正规公司发行。有北京朝华出版社。内蒙古出版社。哈尔滨出版社。山西出版社。延边出版社，卖点挺多的。也很好卖。主要针对。学校图书馆。书店。超市。如刚开业书店有优惠。
常年批发各种练习册。四大名著。少年读物。只限五常地区 。全市最底。练习册都同步的。

我校刚开始上网不知道怎样下载这半月的内容情知教!谢谢!    郑州中牟坡刘小学 

郑教授，上午刚刚听完你的讲座，觉得很好。由于坐在后排没办法问你问题。我想请教的是在教学中多媒体的运用应该怎样去把握度，自己做的课件到底该是你那样提纲挈领式的，还是加深学生印象并拓宽学生知识面的。曾请教过老教师，但比较迷惑。